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Grado en Ingeniería de Tecnologías Mineras

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Álgebra Lineal

Código asignatura
GITEMI01-1-001
Curso
Primero
Temporalidad
Primer Semestre
Materia
Matemáticas
Carácter
Formación Básica
Créditos
6
Pertenece al itinerario Bilingüe
Actividades
  • Prácticas de Laboratorio (9 Horas)
  • Prácticas de Aula/Semina (21 Horas)
  • Clases Expositivas (28 Horas)
Guía docente

La asignatura Álgebra Lineal se enmarca dentro de la Materia Matemáticas que forma parte del plan de estudios. A su vez, esta Materia, Matemáticas, aparece en el Módulo Básico de la titulación de grado. Las asignaturas de tipo básico de este módulo se corresponden con las materias básicas de la rama de conocimiento de Ingeniería y Arquitectura, tal y como se contempla en el Anexo II de l R.D. 1393/2007.

El alumno sólo precisará el conocimiento de los contenidos propios de Matemáticas I y II de bachillerato para poder seguir la asignatura.

Competencia específica BOE

Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría: geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización.

  • Competencias generales y específicas del Grado en Ingeniería Forestal y del Medio Natural

CE01 Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos, algorítmica numérica; estadística y optimización

CE02 Capacidad de visión espacial y conocimiento de las técnicas de representación gráfica, tanto por métodos tradicionales de geometría métrica y geometría descriptiva, como mediante las aplicaciones de diseño asistido por ordenador

CE03 Conocimientos básicos sobre el uso y programación de los ordenadores, sistemas operativos, bases de datos y programas informáticos con aplicación en ingeniería

CE38 Ejercicio original a realizar individualmente y presentar y defender ante un tribunal universitario, consistente en un proyecto en el ámbito de las tecnologías específicas de la Ingeniería Forestal de naturaleza profesional en el que se sinteticen e integren las competencias adquiridas en las enseñanzas.

CG01 Capacidad para comprender los fundamentos biológicos, químicos, físicos, matemáticos y de los sistemas de representación necesarios para el desarrollo de la actividad profesional, así como para identificar los diferentes elementos bióticos y físicos del medio forestal y los recursos naturales renovables susceptibles de protección, conservación y aprovechamientos en el ámbito forestal.

CG14 Capacidad para entender, interpretar y adoptar los avances científicos en el campo forestal, para desarrollar y transferir tecnología y para trabajar en un entorno multilingüe y multidisciplinar. 

 Resultados de aprendizaje

MB-RA01 Utilizar las propiedades básicas de los números reales y complejos y efectuar las operaciones fundamentales con los mismos.
MB-RA02 Usar los elementos básicos del Álgebra Lineal: sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y aplicaciones lineales y utilizar las matrices para simplificar su estudio.
MB-RA03 Identificar propiedades métricas en los espacios vectoriales, a través del producto escalar, la norma o la distancia.
MB-RA04 Calcular valores y vectores propios y diagonalizar endomorfismos y matrices.
MB-RA05 Resolver problemas geométricos del plano y del espacio.
MB-RA06 Identificar los elementos básicos de las ecuaciones diferenciales y los sistemas de ecuaciones diferenciales y utilizar herramientas algebraicas para resolver casos elementales

  • Competencias generales y específicas del Grado en Ingeniería Geomática

CE1 Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la Ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización.

CB1 Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio

CB2 Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro de su área de estudio

CB3 Que los estudiantes tengan la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro de su área de estudio) para emitir juicios que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética

Resultados de aprendizaje

 M1RA01 Utilizar las propiedades básicas de los números reales y complejos y efectuar las operaciones fundamentales con los mismos.
M1RA02 Usar los elementos básicos del Álgebra Lineal: sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y aplicaciones lineales y utilizar las matrices para simplificar su estudio.
M1RA03 Identificar propiedades métricas en los espacios vectoriales, a través del producto escalar, la norma o la distancia.
M1RA04 Calcular valores y vectores propios y diagonalizar endomorfismos y matrices.
M1RA05 Resolver problemas geométricos del plano y del espacio.
M1RA06 Identificar los elementos básicos de las ecuaciones diferenciales y los sistemas de ecuaciones diferenciales y utilizar herramientas algebraicas para resolver casos elementales.

  • Competencias generales y específicas del Grado en Ingeniería de los Recursos Mineros y Energéticos

CE01 Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización

CG01 Capacitación científico-técnica para el ejercicio de la profesión de Ingeniero Técnico de Minas y conocimiento de las funciones de asesoría, análisis, diseño, cálculo, proyecto, construcción, mantenimiento, conservación y explotación

Resultados de aprendizaje

1RA01 Utilizar las propiedades básicas de los números reales y complejos y efectuar las operaciones fundamentales con los mismos.
1RA02 Usar los elementos básicos del Álgebra Lineal: sistemas de ecuaciones lineales,
espacios vectoriales y aplicaciones lineales y utilizar las matrices para simplificar su estudio.
1RA03 Identificar propiedades métricas en los espacios vectoriales, a través del producto escalar, la norma o la distancia.
1RA04 Calcular valores y vectores propios y diagonalizar endomorfismos y matrices.
1RA05 Resolver problemas geométricos del plano y del espacio.
1RA06 Identificar los elementos básicos de las ecuaciones diferenciales y los sistemas de ecuaciones diferenciales y utilizar herramientas algebraicas para resolver casos
elementales.

  • Competencias generales y específicas del Grado de Ingeniería Civil

CB01 Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización.

CG01 Capacitación científico-técnica para el ejercicio de la profesión de Ingeniero Técnico de Obras Públicas y conocimiento de las funciones de asesoría, análisis, diseño, cálculo, proyecto, construcción, mantenimiento, conservación y explotación.

CG05 Capacidad para el mantenimiento y conservación de los recursos hidráulicos y energéticos, en su ámbito.

  • Competencias generales y específicas del Grado en Ingeniería de Tecnologías Mineras

Competencia específica BOE

CE1        Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización

CE7        Capacidad para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias para su aplicación en los problemas de Ingeniería

Competencias generales

Competencias generales que se adquieren en esta asignatura y relación con las competencias básicas del Real Decreto 1393/2007 por el que se establece la ordenación de las enseñanzas universitarias oficiales.

Nº de la competencia

Competencias Generales

Competencias Básicas (RD 1393/2007)

CG-1

Capacidad de análisis y síntesis

CB-3

CG-2

Capacidad de organización y planificación

CB-2

CG-3

Comunicación oral y escrita en la lengua nativa

CB-4

CG-5

Conocimientos de informática relativos al ámbito de estudio

CB-3

CG-6

Capacidad de gestión de la información

CB-3

CG-7

Resolución de problemas

CB-2

CG-8

Toma de decisiones

CB-3

CG-9

Trabajo en equipo

CB-4

CG-11

Habilidades en las relaciones interpersonales

CB-4

CG-12

Razonamiento crítico

CB-2

CG-14

Aprendizaje autónomo

CB-5

CG-15

Adaptación a nuevas situaciones y contextos diversos

CB-2

CG-16

Motivación por la calidad

CB-3

Resultados de aprendizaje

RA06.01: Utilizar las propiedades básicas de los números reales y complejos y efectuar las operaciones fundamentales con los mismos. (CG1, CG2, CG3, CG5, CG6, CG7, CG8, CG9, CG11, CG12, CG14, CG15, CG16, CE1).

RA06.02: Usar los elementos básicos del Álgebra Lineal: sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y aplicaciones lineales y utilizar las matrices para simplificar su estudio (CG1, CG2, CG3, CG5, CG6, CG7, CG8, CG9, CG11, CG12, CG14, CG15, CG16, CE1).

RA06.03: Identificar propiedades métricas en los espacios vectoriales, a través del producto escalar, la norma o la distancia (CG1, CG2, CG3, CG5, CG6, CG7, CG8, CG9, CG11, CG12, CG14, CG15, CG16, CE1).

RA06.04: Calcular valores y vectores propios y diagonalizar endomorfismos y matrices (CG1, CG2, CG3, CG5, CG6, CG7, CG8, CG9, CG11, CG12, CG14, CG15, CG16, CE1).

RA06.05: Resolver problemas geométricos del plano y del espacio (CG1, CG2, CG3, CG5, CG6, CG7, CG8, CG9, CG11, CG12, CG14, CG15, CG16, CE1).

RA06.06: Identificar los elementos básicos de las ecuaciones diferenciales y los sistemas de ecuaciones diferenciales y utilizar herramientas algebraicas para resolver casos elementales (CG1, CG2, CG3, CG5, CG6, CG7, CG8, CG9, CG11, CG12, CG14, CG15, CG16, CE1,CE7).​​​​​​​

Los contenidos de la asignatura se han organizado con arreglo a los siguientes temas, que se desarrollarán en este mismo orden:

Tema 1. Los números complejos

Operaciones en el cuerpo de los números complejos. Representación geométrica. Módulo y argumento. Exponencial compleja. Raíces de un número complejo. 

Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Discusión de sistemas de ecuaciones lineales. Vectores en n-dimensiones. Matrices y determinantes. Cálculo de la inversa de una matriz.

Tema 3. Espacios vectoriales

Independencia y dependencia lineal. Subespacios vectoriales. Sistema generador. Base y dimensión. Cambios de base. Operaciones con subespacios. 

Tema 4. Aplicaciones lineales

Concepto de aplicacion y aplicación lineal. Tipos de aplicaciones. Representación matricial de una aplicación lineal. Núcleo e imagen de una aplicación lineal. Cambio de base en una aplicación lineal. 

Tema 5. Diagonalización

Valores y vectores propios. Subespacios propios. Aplicaciones lineales diagonalizables. Invariazas frente a cambios de base: traza y determinante. Potencia enésima de una matriz. 

Tema 6. Ecuaciones diferenciales

Conceptos generales de ecuaciones diferenciales ordinarias. Método de la separación de variables. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos con coeficientes constantes mediante diagonalización. 

Tema 7. Espacio euclídeo

Producto escalar. Norma de un vector. Distancia y ángulo entre dos vectores. Vectores ortogonales. Método de Gram-Schmidt. Cambio de base. Subespacios ortogonales. El método de los mínimos cuadrados. 

Tema 8. Geometría analítica

La recta en el plano euclídeo: ecuaciones y posiciones relativas. El plano en el espacio euclídeo: ecuaciones y posiciones relativas entre planos y entre una recta y un plano. 

Prácticas de laboratorio

1- Introducción al Matlab: cuestiones generales (1,5 horas).

2.- Introducción a Matlab: vectores y matrices (1,5 horas).

3.- Sistemas de ecuaciones lineales y espacios vectoriales (2 horas).

4.- Aplicaciones lineales (2 horas).

5.- Diagonalización (2 horas).

Clases expositivas

El profesor que imparten docencia teórica presentará mediante el método expositivo las líneas maestras de los contenidos del programa, utilizando para ello las distintas herramientas de la metodología docente, incluyendo el uso de pizarra, proyector y ordenador. Al mismo tiempo, el profesor estimulará a los alumnos a la reflexión, participación y debate. También se incitará a los alumnos para que utilicen, si lo consideran necesario, el campus virtual o el correo electrónico del profesor para plantear cuestiones o dudas. El reparto de la docencia se realiza por bloques temáticos, desarrollándose siempre en la misma aula.

Prácticas de laboratorio

Las clases prácticas de laboratorio se desarrollarán en el aula de informática. Los alumnos, guiados por el profesor de prácticas, resolverán problemas matemáticos relacionados con la materia teórica de la asignatura mediante el uso de un paquete y/o la implementación de códigos informáticos.

Sesiones de evaluación

Se llevará a cabo lo descrito en el apartado correspondiente a evaluación.

Plan de trabajo

TRABAJO PRESENCIAL

TRABAJO NO

PRESENCIAL

Temas

Horas totales

Clase Expositiva

Prácticas de aula /Seminarios/ Talleres

Prácticas de laboratorio /campo /aula de informática/ aula de idiomas

Tutorías grupales

Sesiones de Evaluación

Total

Trabajo grupo

Trabajo autónomo

Total

  Números complejos y espacios  vectoriales.

41,5

8

6

3

0

0,5

17,5

9

15

24

      Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. Aplicaciones lineales.

38,0

7

6

1,5

0

0,5

15,0

8

15

23

       Diagonalización y sistemas de ecuaciones diferenciales.

37,0

6

4,5

3

0

0,5

14,0

8

15

23

        Espacio euclídeo 

33,5

7

4,5

1,5

0

0,5

13,5

5

15

20

Total

150

28

21

9

0

2

60

30

60

90

             

1.5 Volumen total de trabajo del estudiante

MODALIDADES

Horas

%

Totales

Presencial

Clases Expositivas

28

18,7%

60h

(40%)

Práctica de aula / Seminarios / Talleres

21

14,0%

Prácticas de laboratorio / campo / aula de informática / aula de idiomas

9

6,0%

Prácticas clínicas hospitalarias

0

0,00%

Tutorías grupales

0

0,00%

Prácticas Externas

0

0,00%

Sesiones de evaluación

2

1,3%

No presencial

Trabajo en Grupo

30

20,00%

90h

(60%)

Trabajo Individual

60

40,00%

Total

150

   Sistema de evaluación y competencias 

Sistema de Evaluación

%

Competencias

Asistencia y participación en las actividades presenciales

0

CE1, CG7, CG13

Participación en foros, chats y otros espacios virtuales

0

CE1, CG4, CG8, CG11

Realización de las actividades individuales propuestas

0

CE1, CG3, CG5, CG6, CG11, CG12

Realización de las actividades de grupo propuestas

0

CE1, CG7, CG8

Realización de un trabajo individual

0

CE1, CG2, CG5, CG6, CG11

Realización de un trabajo en grupo

0

CE1, CG1, CG2, CG5, CG7

Exposición del trabajo individual

0

CE1, CG1, CG2

Prácticas de laboratorio

20

CE1, CG1, CG2

Test de teoría

20

CE1, CG1, CG4, CG5

Examen de problemas

60

CE1, CG1, CG2, CG4, CG5, CG9,

Total

100

Sistema de evaluación de la asignatura 

Convocatoria ordinaria

Durante el curso se realizan dos examenes tipo test. Cada uno de estos test valdrá un 10% de la nota global de la asignatura. El primer test versará sobre los temas 1 a 4 y el segundo test sobre los temas 5 a 8. Las preguntas de los tests consistirán en cuestiones cortas con la intención de discernir la asimilación de los contenidos teóricos de la asignatura. Cada test constará de 15 preguntas con 4 opciones de respuesta cada una. Cada pregunta incorrecta en el test descontará lo equivalente a 1/3 de una pregunta correcta. Las preguntas no contestadas en el test no sumarán ni restarán puntos. 
    También, durante el curso, se realizarán 5 sesiones de prácticas en el laboratorio de informática. En cada una de las 4 últimas sesiones, los alumnos tendrán que responder a un cuestionario de preguntas calculadas en el campus virtual. Para la resolución de cada uno de estos ejercicios, los alumnos tendrán que elaborar un pequeño programa en MATLAB. Cada uno de estos cuestionarios valdrá un 5% de la nota global de la asignatura.
    En el examen de convocatoria ordinaria, los alumnos realizarán un examen de problemas de los contenidos impartidos a lo largo del curso (temas 1 a 8). En la hoja de preguntas de este examen de problemas se detallará la puntuación de cada uno de los apartados de los ejercicios propuestos. El porcentaje de la nota global del examen de problemas será del 60%. Asimismo, los alumnos podrán recuperar o subir nota cada una de las partes evaluadas durante el curso, es decir, el test de teoría y las prácticas de laboratorio. El test de recuperación tendrá las mismas características que los test realizados durante el curso, pero las preguntas versarán sobre todos los contenidos de la asignatura (temas 1 a 8). El examen de prácticas de recuperación tendrá las mismas características que los cuestionarios realizados durante las sesiones de prácticas a lo largo del curso y versará sobre todos los contenidos impartidos en todas las prácticas.

Para computar la nota final de primera convocatoria, se tomará la nota del examen de problemas (con una ponderación del 60%), la mejor nota entre los test realizados durante el curso y el test de recuperación (con una ponderación del 20%) y la mejor nota entre los cuestionararios de las sesiones prácticas y el cuestionario de recuperación (con una ponderación del 20%). 

Para poder ser evaluado en la convocatoria ordinaria es imprescindible certificar un mínimo de un 80% de asistencia presencial a clase durante el curso. Los alumnos que deseen ser evaluados en convocatoria ordinaria y no alcancen el 80% de asistencia presencial, deberán justificar su falta de asistencia según las justificaciones previstas por la normativa de la Universidad de Oviedo para poder ser evaluados. 

Evaluación extraordinaria

Aquellos alumnos que no hayan superado la asignatura mediante el proceso ordinario de evaluación tienen derecho a recuperar o subir nota cada una de las partes evaluadas durante el curso (test, problemas y/o prácticas) en la convocatoria extraordinaria. El sistema de evaluación de la convocatoria extraordinaria tiene las mismas características que el de la convocatoria ordinaria. Para computar la nota final, se tomará la mejor nota de cada parte evaluada (test, problemas, prácticas) teniendo en cuenta las notas obtenidas durante el curso, la convocatoria ordinaria y la convocatoria extraordinaria. La ponderación de cada parte es del 20% para el test, 20% para las prácticas y 60% para los problemas.

Evaluación diferenciada

Los alumnos de evaluación diferenciada se podrán presentar al examen de primera convocatoria y/o convocatoria extraordinaria, pudiendo ser evaluados del 100% de la asignatura. Para ello, podrán realizar los correspondientes test de recuperación (20% de la nota global) y cuestionarios de prácticas de recuperación (20% de la nota global), así como a los correspondientes exámenes de problemas (60% de la nota global). Para computar la nota final, se tomará la mejor nota de cada parte evaluada (test, problemas, prácticas) teniendo en cuenta las notas obtenidas en las convocatorias ordinaria y extraordinaria.

Este mecanismo de evaluación diferenciada podrá ser sustituido por otro mecanismo de evaluación, específico para cada alumno, en virtud del artículo 7 del Reglamento de evaluación de la Universidad de Oviedo.

Evaluación del proceso docente

Para evaluar el proceso docente se tendrán en cuenta la Encuesta General de la Enseñanza de la Universidad de Oviedo, así como la valoración final del proceso de enseñanza/aprendizaje por parte de los profesores.

Durante el curso se revisarán las actividades realizadas para detectar puntos fuertes y débiles y se introducirán modificaciones para mejorar el proceso.

Recursos

·         Aulas de teoría con ordenador para el profesor y cañón de proyección.

·         Aulas con ordenadores para las prácticas de laboratorio.

·         Documentación de la asignatura (teoría y problemas) elaborada por el profesorado y disponible en el Campus Virtual de la Universidad de Oviedo

Bibliografía

·         Bernard Kolman, David R. Hill. Álgebra Lineal. Octava edición. Pearson Prentice Hall, 2006.

·         David C. Lay. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Tercera Edición. Pearson Addison Wesley, 2007.

Complementaria

·         Strang, G. Álgebra Lineal y sus aplicaciones. Thomson, 2007.

·         Nakos, G.; Joyner, D. Álgebra Lineal con Aplicaciones. Thomson, 1999.

·         Hefferon, J. Linear Algebra. http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra, 2008.

·         Hernández. E. Algebra y Geometría. Pearson Educación, 1994.

·         Poole, D. Álgebra Lineal, una introducción moderna. Thomson, 2004.

·         Burgos, J, de. Álgebra Lineal. McGraw-Hill (3ª ed.), 2006.

Software

Para las prácticas de laboratorio se usará MATLAB.

Matlab (http://es.mathworks.com/products/matlab/)