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Topología Algebraica
DESCRIPCIÓN Y CONTEXTUALIZACIÓN DE LA ASIGNATURA
En la actualidad es necesario disponer de diversas técnicas de trabajo para solucionar problemas de clasificación. En esta signatura se estudian técnicas de trabajo propias de la Topología Algebraica, capaces de resolver problemas topológicos con métodos algebraicos, y viceversa, problemas algebraicos con técnicas topológicas. En particular se estudia el concepto de homotopía y se introduce un potente invariante algebraico: el grupo fundamental de un espacio topológico, se aprende a calcularlo y se aplica para resolver diversos problemas.
Se explica el concepto de espacio recubridor y se clasifican utilizando el grupo universal.
Un concepto topológico de aplicación en diversos campos de la ciencia es estudiado en la Teoría de nudos. En este curso se presenta una introducción a este tema como ejemplo de aplicación de distintas técnicas algebraicas y topológicas desarrolladas en la primera parte del curso.
No los hay.
COMPETENCIAS DE LA ASIGNATURA
Competencias específicas de la asignatura:
9986-Manejar correctamente y con soltura los conceptos fundamentales de invariantes topológicos así como las técnicas básicas de estudio de espacios topológicos.
9987-Saber reescribir problemas matemáticos en un lenguaje topológico adecuado que lo haga susceptible de resolverse usando dichas técnicas.
9988-Capacidad de elaborar un razonamiento lógico coherente y especializado que pueda ser comprendido por un miembro de la comunidad matemática.
9989-Saber aplicar los teoremas fundamentales a la resolución de problemas.
Competencias básicas y generales: CB6, CB7, CB8, CB10
Competencias transversales: CT1854, CT1863, CT1872
Competencias específicas de la titulación: CE1856, CE1840, CE1841
RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA
- Entender el concepto de homotopía de aplicaciones en un espacio topológico. Ser capaz de identificar aplicaciones homótopas escribiendo explícitamente una homotopía entre ellas.
- Entender las clases de homotopía de caminos y lazos en un espacio topológico.
- Comprender y calcular el grupo de clases de homotopía de lazos basados en un punto dentro de un espacio topológico.
- Ser capaz de calcular el grupo fundamental de cualquier espacio topológico.
- Entender el concepto de espacio recubridor e identificar ejemplos usuales.
- Comprender la relación entre espacios recubridores y los grupos fundamentales involucrados.
- Entender los conceptos de nudo y enlace topológicos e identificar ejemplos en la ciencia y en la vida real.
- Aprender a calcular diversos invariantes de nudos y enlaces, siendo capaces de calcularlos en un nudo concreto.
CONTENIDOS TEORICO-PRACTICOS
- Homotopía. Grupo fundamental. Espacios recubridores
- Homotopía de aplicaciones
- Homotopía de caminos
- El grupo fundamental
- El grupo fundamental de la circunferencia
- Teorema de Seifert-Van Kampen
- Ejemplos y aplicaciones
- Espacios recubridores
- Propiedades de levantamiento
- Aplicaciones en el cálculo del grupo fundamental de algunos espacios
- Introducción a la teoría de nudos
- Nudos y enlaces
- Representaciones de nudos
- Superficies de Seifert
- Nudos algebraicos
- Invariantes algebraicos
- Invariantes polinómicos
Metodología
El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la Bibliografía y el material de uso obligatorio. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá a los alumnos resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas. En los seminarios se desarrollaran cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad a los alumnos para trabajarlos y motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello.
Se propondrán a los estudiantes trabajos individuales sobre teoría y problemas, para cuya realización dispondrán del apoyo del profesor en seminarios periódicos.
Parte importante del trabajo del alumno es de carácter personal. Los profesores orientarán en todo momento ese trabajo y estimularán que se haga con regularidad y dedicación. Se animará igualmente a que utilicen las tutorías personales donde pueden aclarar cualquier duda o dificultad que se les presente en las asignaturas.
Sistemas de evaluación
Se consideran los siguientes tipos de evaluación:
- SISTEMA DE EVALUACIÓN CONTINUA
- SISTEMA DE EVALUACIÓN FINAL
Herramientas y porcentajes de calificación
SISTEMA DE EVALUACIÓN CONTINUA: trabajos individuales 100%
SISTEMA DE EVALUACIÓN FINAL: examen escrito o trabajos individuales 100%
CONVOCATORIA ORDINARIA: ORIENTACIONES Y RENUNCIA
CRITERIOS DE LA EVALUACIÓN CONTINUA:
- Realización de un trabajo individual consistente en una serie de ejercicios del apartado de Homotopía, Grupo fundamental y espacios recubridores: 50%
- Realización de un trabajo individual consistente en la clasificación topológica de un nudo concreto aplicando los conocimientos del apartado de Introducción a la teoría de nudos: 50%
Para aprobar la asignatura será necesario alcanzar una nota de 5 sobre 10 en cada uno de los dos trabajos individuales. La nota final será la media de ambas.
CRITERIOS DE LA EVALUACIÓN FINAL:
Los estudiantes que lo soliciten, podrán someterse a una evaluación final, que podrá consistir en una prueba única, o en un conjunto de pruebas y trabajos.
Se podrá establecer de manera excepcional la asistencia a determinadas sesiones presenciales, y la superación, en su caso, de las pruebas que en ellas se establezcan.
Los estudiantes deberán solicitar la evaluación diferenciada mediante escrito razonado dirigido al Coordinador del Máster, desde el momento de la matrícula hasta transcurridos, como máximo, cinco días desde el inicio del curso. La solicitud se acompañará de todos los documentos que acrediten la imposibilidad de seguir con normalidad el desarrollo del curso. La Comisión Académica del Máster, resolverá en el plazo máximo de veinte días.
RENUNCIA:
El alumnado que haya realizado las actividades a lo largo del curso, pero no se presente a la convocatoria ordinaria, será calificado como No presentado/a.
CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA: ORIENTACIONES
Los criterios de evaluación serán los mismos que en la convocatoria ordinaria. La evaluación de las actividades realizadas a lo largo del curso (ejercicios, seminarios) será válida para las dos convocatorias del curso. En consecuencia, el alumnado que haya superado estas actividades a lo largo del curso, en la convocatoria extraordinaria solo tendrá que presentarse al trabajo individual. En el caso del alumnado que no haya superado la evaluación de dichas actividades o haya elegido la modalidad de evaluación final, en la convocatoria extraordinaria deberá realizar, también, una prueba complementaria diseñada para la evaluación de las actividades realizadas a lo largo del curso. Dicha prueba puede consistir en una exposición oral, o una descripción escrita de los conocimientos prácticos abordados en las actividades planteadas a lo largo del curso.
MATERIALES DE USO OBLIGATORIO
Apuntes de la asignatura que se entregaran al alumnado.
BIBLIOGRAFÍA DE PROFUNDIZACIÓN
- A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001
- W.S. Massey, Introducción a la topología algebraica, Reverté, 1982
- J.R. Munkres, Topología; Prentice Hall, 2002
- O. Ya. Viro, O.A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V.M. Kharlamov, Elementary Topology. Problem Textbook, AMS, 2008
- G. Burde and H. Zieschang, Knots. Walter de Gruyter, 2003
- D. Rolfsen, Knots and Links, AMS Chelsea Publishing, 2003
DIRECCIONES DE INTERNET DE INTERÉS
- Página web de A. Hatcher: http://www.math.cornell.edu/~hatcher/
- A. Hatcher, Algebraic Topology, versión preliminar online:
https://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf
- C. Ivorra Castillo, Topología Algebraica (con aplicaciones a la geometría diferencial):http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Topalg.pdf
- O. Ya. Viro, O.A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V.M. Kharlamov, Elementary Topology. Problem Textbook, versión preliminar online: