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Doble Grado en Matemáticas y Física. Opción A

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Geometría de Curvas y Superficies

Código asignatura
2GMAFI2A-2-008
Curso
Segundo
Temporalidad
Segundo Semestre
Carácter
Obligatoria
Créditos
6
Pertenece al itinerario Bilingüe
No
Actividades
  • Prácticas de Aula/Semina (14 Hours)
  • Tutorías Grupales (4 Hours)
  • Clases Expositivas (42 Hours)
Guía docente

La asignatura Geometría de Curvas y Superficies se encuentra recogida, en la Memoria del Grado, dentro del Módulo Topología y Geometría Diferencial, con un carácter Obligatorio. Es ésta una asignatura de gran relevancia para todo Matemático, ya que en ella confluyen técnicas propias del Cálculo, del Álgebra Lineal y de la Topología, para el desarrollo de esta teoría clásica. La formación que se adquiere no se restringe únicamente a las técnicas propias de la disciplina, que permiten considerar problemas sobre curvas y superficies en R3 de forma sistemática, sino que incluye también la capacidad de razonamiento, deducción, inducción y abstracción que todo Matemático requiere.El carácter de la asignatura es eminentemente teórico, pero esto no impide que la resolución de problemas se convierta en un eje central de la misma. Además, puesto que se trata de una asignatura de geometría, se realizarán interpretaciones gráficas de aquellos resultados que se vayan obteniendo, con el objeto de hacerla más intuitiva. Su desarrollo se plantea a partir de los conocimientos del primer curso de grado, incidiendo tanto en los aspectos puramente teóricos, que desarrollan las competencias CT5, CG2, CG7, CE1, CE3, CE5, como en la resolución de problemas y la comunicación de su solución (desarrollo de las competencias CG3, CE4, CE6).

 Es muy recomendable el dominio de las técnicas introducidas en las asignaturas Cálculo Diferencial e Integral, Análisis I y Álgebra Lineal, así como el progresivo conocimiento de las de las asignaturas Análisis II y Geometría y Topología I de los dos primeros cursos de grado. En particular, es deseable destreza en la manipulación de funciones reales de una y varias variables, de los objetos del espacio afín euclídeo y de los espacios métricos.

Competencias:

  • CG2.  Elaborar y defender argumentos
  • CG3.  Plantear y resolver problemas.
  • CG7. Comunicar, por escrito y de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas, tanto a un público especializado como no especializado
  • CE1. Comprender y utilizar el lenguaje matemático
  • CE3. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
  • CE4. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos
  • CE5. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos
  • CE6. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas
  • CT5. Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la inglesa

Resultados del aprendizaje:

- Conocer y manejar los resultados básicos de la Teoría local de curvas.

-  Conocer y manejar los resultados básicos de la Teoría local de superficies.

-  Conocer las distintas nociones de curvatura.

  • Manejar el triedro de Frenet para el estudio local de curvas. Saber calcular longitudes de curvas y reparametrizar al arco.
  • Saber calcular la curvatura y la torsión de una curva en un punto dado e interpretar geométricamente el resultado.
  • Reconocer las hélices y sus propiedades elementales.
  • Calcular la primera forma fundamental de una superficie.
  • Calcular la segunda forma fundamental.
  • Clasificar los puntos de una superficie en función de su curvatura de Gauss.
  • Apreciar la interacción del Cálculo, el Álgebra Lineal y la Topología en el estudio diferencial de curvas y superficies en el espacio.
  1. Teoría local de curvas. Triedro de Frenet. 
  2. Teoría local de superficies. Curvaturas. Geodésicas.

La metodología de la asignatura se articula en torno a tres modalidades presenciales, a la que se añade una sesión de evaluación final:

  1. Presenciales
    1. Clases expositivas de teoría (CE) y prácticas de tablero (PA): Impartidas al grupo completo, no necesariamente como lección magistral, sino procurando una participación activa del alumnado en la dinámica de las mismas. En estas clases se desarrollarán los contenidos teóricos de la asignatura, combinados con la resolución de problemas y ejercicios. Se utiliza la pizarra y los diferentes medios audiovisuales.
      Con este tipo de formación se pretende familiarizar a los estudiantes con el lenguaje matemático, así como desarrollar su capacidad para comprender y demostrar enunciados matemáticos. Otro objetivo destacado de estas clases es que aprendan a deducir las propiedades estructurales de objetos matemáticos, sepan utilizarlos en contextos diferentes y resolver
      problemas mediante habilidades de cálculo, contraejemplos, etc. Se propondrán problemas relacionados con la vida real, para que el alumno aprenda a formularlos en términos matemáticos, elegir las herramientas matemáticas más adecuadas para resolverlos y validar e interpretar su solución. Periódicamente, los alumnos deberán resolver individualmente o en grupo cuestiones y ejercicios.
    2. Tutorías grupales (TG): Realizadas en grupos muy reducidos, programadas por el profesor y coordinadas por el Centro, en las que se resolverán las dudas planteadas por los alumnos, indicándoles en qué aspectos de la asignatura deberán mejorar y la mejor forma para que lo hagan. Está actividad servirá para incidir en el aspecto formativo de la evaluación.
    3. Sesiones de evaluación (SE): Se realizará un examen final teórico-práctico que evalúe la adquisición de las destrezas en las que forma la asignatura.
  1. No presenciales
     
    1. Trabajo autónomo: la resolución de problemas planteados en las CE, la realización de los ejercicios y problemas para las PA, además de la necesaria reflexión sobre los aspectos teóricos (resultados, interpretaciones gráficas y sus demostraciones) tratados en las CE, es el trabajo que se espera de los estudiantes.

De forma excepcional, si las condiciones sanitarias lo requieren, se podrán incluir actividades de docencia no presencial. En este caso, se informará al estudiantado de los cambios efectuados.

A continuación daremos una estimación aproximada del tiempo que llevará cada uno de los temas en las distintas actividades

Plan de Trabajo Orientativo

TRABAJO PRESENCIAL

TRABAJO NO

PRESENCIAL

Temas

Horas totales

Clase Expositiva

Prácticas de aula /Seminarios/ Talleres

Tutorías grupales

Sesiones de Evaluación

Total

Trabajo autónomo

Total

CURVAS

52

15

5

2

22

30

30

SUPERFICIES

94

  24

8

2

34

60

60

EXAMEN FINAL

4

4

4

Total

150

39

13

4

4

60

90

90

7. Evaluación del aprendizaje de los estudiantes

Las competencias que se evaluarán en la asignatura son las siguientes:

  • CG2.  Elaborar y defender argumentos
  • CG3.  Plantear y resolver problemas.
  • CG7. Comunicar, por escrito y de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas, tanto a un público especializado como no especializado
  • CE1. Comprender y utilizar el lenguaje matemático
  • CE3. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
  • CE4. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos
  • CE5. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos
  • CE6. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas
  • CT5. Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la inglesa

Para realizar la evaluación de dichas competencias se realizarán pruebas objetivas de respuesta larga teórico-practicas escritas, controles escritos, y exposición oral de problemas en público.

En el cuadro siguiente se especifica la ponderación que en la evaluación del alumno tendrán los distintos aspectos citados antes, así como las competencias que les conciernen

 

Aspectos

%

Competencias

Prueba objetiva final de respuesta larga teórico-práctica

55

CG2, CG3, CG7, CE1, CE3, CE4, CE5, CE6,

Control escrito a mitad de semestre

25

CG2, CG3, CG7, CE1, CE3, CE4, CE5, CE6

Exposición oral de problemas en público

10

CG2, CG3, CG7, CT5

Participación en la realización de las tareas propuestas en las TG

     10

 

CG2, CG3 CG7, CE1, CE3, CE4, CE5, CE6, CT6

 La calificación correspondiente al 20% de evaluación continua (exposición oral de problemas en público (10%) y participación en las TG (10%)), obtenida durante el curso se conservará para todas las convocatorias, evaluándose el 80% restante a través de a una prueba objetiva de respuesta larga teórico-práctica sobre toda la materia.

Se recomienda la siguiente bibliografía básica:

* Costa, A.F., Gamboa, M., Porto, A.M.: “Notas de Geometría diferencial de curvas y superficies”. Sanz y Torres, Madrid, 1977.

* Pastor González, J.A., Hernández Cifre, M.A.: "Un curso de Geometría diferencial: Teoría, problemas, soluciones y prácticas con ordenador". Editorial CSIC - CSIC Press

Así como la siguiente bibliografía complementaria:

* Do Carmo, M.:   “Geometría Diferencial de Curvas y Superficies”. Alianza Editorial, Madrid, 1992.

* Millman, R.S., Parker, G.D.: “Elements of Differential Geometry”. Prentice Hall, 1977.