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Sistemas Dinámicos
- Clases Expositivas (45 Hours)
- Prácticas de Aula/Semina (6 Hours)
- Tutorías Grupales (2 Hours)
- Prácticas de Laboratorio (7 Hours)
La asignatura Sistemas dinámicos es una asignatura optativa del Grado en Matemáticas.
Con ella se pretende llevar al alumno desde los primeros modelos clásicos que se han planteado en el desarrollo de las dos asignaturas previas Ecuaciones Diferenciales I y II, principalmente estudiadas en el marco de las ecuaciones lineales, hasta las dinámicas más ricas que pueden surgir en los modelos no lineales. Constituye por lo tanto una primera aproximación al estudio sistemático de la complejidad dinámica que presentan con frecuencia los procesos que nos rodean. Al margen del tratamiento numérico de algunos ejemplos ilustrativos, el desarrollo de la asignatura es cualitativo y se organiza sobre el esquema de lo que se ha dado en llamar teoría de la bifurcación. Este desarrollo permite dividir el programa en dos partes estrechamente relacionadas pero bien diferenciadas: bifurcaciones locales y bifurcaciones globales.
Como corresponde a una asignatura avanzada, su preparación requiere de muchos conocimientos previos, que se pueden entender como todos aquellos necesarios y aportados en el estudio de las dos asignaturas cursadas sobre ecuaciones diferenciales.
La asignatura es una ventana abierta a interesantes problemas y aplicaciones cuyo objetivo es la comprensión (predicción o control) de los numerosos procesos que nos rodean. Constituye un buen complemento de otras asignaturas optativas que se ofertan: ecuaciones en derivadas parciales y procesos estocásticos.
Se recomienda haber superado las asignaturas Ecuaciones Diferenciales I y Ecuaciones Diferenciales II.
Competencias generales
CG1. Saber aplicar los conocimientos a su trabajo de una forma profesional.
CG2. Elaborar y defender argumentos.
CG3. Plantear y resolver problemas.
CG4. Reunir e interpretar datos, información y resultados relevantes, obtener conclusiones y emitir informes razonados.
CG7. Comunicar, por escrito y de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas, tanto a un público especializado como no especializado.
CG8. Estudiar y aprender de forma autónoma, con organización de tiempo y recursos, nuevos conocimientos y técnicas en cualquier disciplina científica o tecnológica.
Competencias específicas
CE1. Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
CE2. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática y para construir demostraciones.
CE3. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
CE5. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
CE6. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.
CE8. Planificar la resolución de un problema en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
Competencias transversales
CT1. Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas, incluyendo el acceso por Internet.
CT2. Gestionar de forma óptima el tiempo de trabajo y organizar los recursos disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones.
CT3. Comprobar o refutar razonadamente los argumentos de otras personas.
CT4. Trabajar en equipos interdisciplinares, aportando orden, abstracción y razonamiento lógico.
CT5. Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la inglesa.
Resultados del aprendizaje
RAEDI 1. Comprender la necesidad y utilidad de una clasificación dinámica, reconociendo la limitación del tratamiento cuantitativo y, consecuentemente, reforzando el estudio cualitativo· RAEDI 2. Acceder a conceptos topológicos y geométricos de relevante significado dinámico
RAEDI 3. Aprender a estudiar la dinámica de un campo cerca de sus singularidades y analizar posibles transiciones dinámicas.
RAEDI 4. Comprender el papel que juega la dinámica discreta en el estudio de la dinámica global de un campo.
RAEDI 5. Comprender como la complejidad puede estar generada por modelos muy simples: aplicaciones reales de variable real o difeomorfismos sobre el plano
RAEDI 6. Tomar contacto con los primeros ejemplos de dinámica caótica.
RAEDI 7. Comprender la relación entre la geometría fractal y la iteración de funciones.
RAEDI 8. Entender los sistemas dinámicos como el lenguaje matemático eficaz en el estudio de la complejidad dinámica.
De acuerdo con la Memoria de verificación del Título de Grado, los contenidos de esta asignatura son:
- Bifurcaciones en sistemas dinámicos.
- Complejidad dinámica.
- Caos y atractores extraños.
De acuerdo con las pautas que establece el EEES, la asignatura se desarrollará mediante actividades presenciales y trabajo autónomo del estudiante.
Las actividades presenciales son aquellas en las que estará siempre presente el profesorado. Se dividen en clases expositivas, seminarios o prácticas de aula, tutorías grupales y sesiones de evaluación.
- Clases expositivas: Impartidas al grupo completo, no necesariamente como lección magistral, sino procurando una participación activa del alumnado en la dinámica de las mismas. En estas clases se desarrollan los contenidos teóricos de la asignatura, combinados con la resolución de problemas y ejercicios. Se utiliza la pizarra y, ocasionalmente, diferentes medios audiovisuales.
- Prácticas de Aula / Seminarios: Dedicados a propuestas, discusión y supervisión de ejercicios y problemas relacionados con la asignatura.
- Tutorías grupales: Dedicadas a la aclaración de dudas sobre teoría, problemas o trabajos en curso, estas actividades han de servir para afianzar conocimientos e ir comprobando de forma continuada el grado de adquisición de competencias y destrezas. Se desarrollarán en grupos pequeños, disponiendo por tanto los estudiantes de una atención personalizada por parte del profesor/a. La participación activa en estas sesiones tendrá un peso en la evaluación final.
- Sesiones de evaluación: Se dedicarán exclusivamente a la realización de pruebas escritas con las que se pueda valorar de forma objetiva el nivel alcanzado por los estudiantes en la adquisición de las competencias previstas.
Por su parte, a fin de cumplir los principios referentes a ECTS, establecidos en el Real Decreto 1393/2007, cada estudiante deberá desarrollar un trabajo autónomo paralelo (actividades no presenciales), dirigido por el profesorado mediante las tutorías. La distribución de horas y ECTS para las actividades presenciales, así como la dedicación a las actividades no presenciales estimada, se recogen en la siguiente tabla:
MODALIDAD | Horas | ECTS | % | |
Presencial | Clases expositivas | 36 | 1.44 | 24 |
Seminarios | 16 | 0.64 | 10.66 | |
Tutorías grupales | 4 | 0.16 | 2.66 | |
Sesiones de evaluación | 4 | 0.16 | 2.66 | |
Total | 60 | 2.40 | 40 | |
No presencial | Estudio individual o en grupo | 30 | 1.20 | 20.0 |
Resolución de ejercicios | 40 | 1.60 | 27.0 | |
Preparación de presentaciones y otros trabajos | 20 | 0.80 | 13.0 | |
Total | 90 | 3.60 | 60 | |
Total | 150 | 6.00 | 100 |
Plan de Trabajo (orientativo)
| TRABAJO PRESENCIAL | TRABAJO NO PRESENCIAL |
| ||||
Temas
| Clase expositiva | Seminarios (o prácticas de aula) | Tutorías grupales | Sesiones de evaluación | Trabajo presencial | Trabajo autónomo o en grupo | Total |
1. Clasificación de los sistemas lineales. Resultados de linealización. Existencia de variedades invariantes | 9 | 5 | 1 |
| 15 | 20 | 35 |
2. Bifurcaciones locales. Introducción a la teoría de catástrofes. La bifurcación de Hopf. | 12 | 6 | 2 |
| 20 | 35 | 55 |
3. Bifurcaciones globales. Puntos homoclínicos y dinámica discreta asociada. Caos y geometría fractal. | 15 | 5 | 1 |
| 21 | 35 | 56 |
Evaluación |
|
|
| 4 | 4 |
| 4 |
Total (horas) | 36 | 16 | 4 | 4 | 60 | 90 | 150 |
De forma excepcional, si las condiciones sanitarias lo requieren, se podrán incluir actividades de docencia no presencial. En ese caso, se informará al estudiantado de los cambios efectuados.
Convocatoria ordinaria
La calificación de la convocatoria ordinaria se realizará a través de actividades de evaluación continua y, en particular, dicha calificación se obtendrá en la forma que se indica en la siguiente tabla:
Ejercicios, trabajos y exposiciones desarrollados durante el curso | 75% |
Prácticas de laboratorio | 20% |
Participación activa del alumno en el desarrollo de la asignatura | 5% |
Convocatoria extraordinaria
Para la evaluación de las convocatorias extraordinarias de junio y julio se realizará una única prueba escrita en la fecha fijada en el calendario oficial de la Facultad y cuya duración será de cuatro horas. El resultado de dicha prueba escrita constituirá el 75% de la calificación global de la asignatura, mientras que el 25% restante se corresponderá con una prueba relativa a las prácticas de laboratorio.
Evaluación diferenciada:
Si existen alumnos de evaluación diferenciada que no puedan seguir las actividades de evaluación continua, su evaluación en la convocatoria ordinaria se realizará preferentemente por el procedimiento descrito para las convocatorias extraordinarias, aunque se tendrá en cuenta la situación particular de cada alumno.
De forma excepcional, si las condiciones sanitarias lo requieren, se podrán incluir métodos de evaluación no presencial. En cuyo caso, se informará al estudiantado de los cambios efectuados.
Bibliografía básica | ||
Título | Autor | Editorial |
Liçoes de ecuaçoesdiferenciais ordinárias | J. Sotomayor | I.M.P.A. Río de Janeiro (1979) |
Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of vector fields | J. Guckenheimer, P. Holmes | Springer (1989) |
Bibliografía complementaria | ||
Título | Autor | Editorial |
Ordinary Differential Equations with Applications. | C. Chicone | Springer (1999) |
Dynamics and bifurcations | J. Hale, H. Koçak | Springer (1991) |
Dynamical systems with applications using MATLAB | S. Lynch | Birkhäuser (2004) |
Foundations of complex systems | G. Nicolás, C. Nicolis | Springer (2007) |
Nonlinear dynamics and chaos | S. Strogatz | Westview Press (2008) |
Ordinary Differential Equations | T. C. Sideris | Atlantis Press (2013) |
Además de la bibliografía, se podrá hacer uso de los materiales incluidos por los profesores en el Campus Virtual (apuntes, resúmenes, colecciones de problemas, enlaces a páginas web, etc.).