Estudia
- Grados
- Másteres universitarios
- Doctorado
- Títulos propios y formación continua
- Idiomas
- Extensión universitaria
- Programa para mayores PUMUO
- Movilidad
- Campus Virtual y OCW
- Calendario Académico
Variable Compleja
- Tutorías Grupales (2 Hours)
- Clases Expositivas (45 Hours)
- Prácticas de Aula/Semina (13 Hours)
La asignatura Álgebra I se encuentra recogida, en la Memoria del Grado, dentro del Módulo Estructuras Algebraicas, con un carácter Obligatorio. Se trata de una asignatura de relevancia para todo matemático, pues se introducen las principales estructuras algebraicas. Es además esencial para cualquier estudio algebraico posterior, ya que el conocimiento de anillos y propiedades de factorización, así como un conocimiento básico de grupos y módulos es imprescindible para avanzar en el estudio de cualquier otro tema de carácter algebraico. La formación que se adquiere no se restringe únicamente a las técnicas propias de la disciplina y el interés de sus contenidos no tiene trascendencia sólo para posteriores estudios algebraicos, sino que incluye también la capacidad de abstracción y de diferenciación entre propiedades de tipo general y de tipo específico que todo matemático requiere.
El carácter de la asignatura es eminentemente teórico, pero la resolución de problemas es eje central de la misma, ya que la resolución de ejercicios es el medio natural de contrastar la comprensión del tema y el único modo de conseguir soltura en la manipulación de las estructuras. Su desarrollo se plantea a partir de los conocimientos del primer curso de grado, incidiendo tanto en los aspectos puramente teóricos, que desarrollan las competencias CT5, CG7, CG8, CE2, CE3, CE5, como en la resolución de problemas y la comunicación de su solución (desarrollo de las competencias CG3, CE4).
Es muy recomendable el dominio de las técnicas introducidas en las asignaturas de Fundamentos de Matemáticas y Álgebra Lineal y Geometría del primer curso de grado. En particular, es deseable un dominio de las técnicas lineales, el trabajo en espacios vectoriales y de la manipulación de aplicaciones y relaciones.
Competencias:
CE2. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática y para construir demostraciones.
CE3. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
CE4. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos
CE5. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos
CG2 - Elaborar y defender argumentos.
CG3: Plantear y resolver problemas.
CG5 - Transmitir información, ideas, problemas y soluciones del ámbito matemático a un público tanto especializado como no especializado.
CG7: Comunicar, por escrito y de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas, tanto a un público especializado como no especializado.
CG8 - Estudiar y aprender de forma autónoma, con organización de tiempo y recursos, nuevos conocimientos y técnicas en cualquier disciplina científica o tecnológica.
CT1 - Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas, incluyendo el acceso por Internet.
CT3 - Comprobar o refutar razonadamente los argumentos de otras personas.
CT4 - Trabajar en equipos interdisciplinares, aportando orden, abstracción y razonamiento lógico.
CT5: Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la inglesa
Resultados del aprendizaje:
- Conocer las estructuras algebraicas elementales, sus propiedades y las relaciones entre ellas.
- Identificar las estructuras cocientes y trabajar en ellas.
- Relacionar problemas de distinto tipo con problemas algebraicos ligados a diferentes estructuras.
- Aplicar el conocimiento de las distintas estructuras para resolver problemas en otros ámbitos matemáticos o externos a las matemáticas.
- Diferenciar las características y técnicas de trabajo propias de cada estructura algebraica.
- Calcular el máximo común divisor y la factorización de enteros y polinomios.
- Diferenciar las propiedades de factorización en los diferentes tipos de anillos
- Conocer la estructura de módulo, relacionarla con la de espacio vectorial y utilizarla para conocer los grupos abelianos finitos.
- Operar en grupos sencillos (cíclicos, abelianos, diédricos o simétricos).
- Familiarizarse con el concepto de acción y grupo de transformaciones.
- Conocer propiedades de un grupo ligadas a su estructura normal y relacionar dichas propiedades, en el caso de grupos finitos, con propiedades de tipo aritmético.
Los contenidos de la asignatura son:
- Anillos e ideales. Dominios de integridad. Divisibilidad y factorización. Anillos de polinomios.
-Estructura de módulo. Primeras propiedades.
- Grupos, subgrupos y homomorfismos. Subgrupos normales y grupo cociente. Acciones de grupo y grupo simétrico. Teoremas de Sylow.
Se desarrollarán, a lo largo del curso, en los siguientes temas:
Tema 1: Introducción, Estructuras algebraicas. Preliminares
Tema 2: Anillos, subanillos, ideales. Operaciones con ideales. Homomorfismos. Teoremas de Isomorfía.
Tema 3: Ideales primos y maximales. Cuerpo y anillos de fracciones
Tema 4: Factorización. Dominios de Ideales Principales. Dominios euclídeos. Dominios de factorización única.
Tema 5: Anillo de Polinomios.
Tema 6: Módulos. Primeras Propiedades. Teoremas de estructura de los módulos de tipo finito sobre un DIP.
Tema 7 : Grupos, subgrupos y homomorfismos. Subgrupos Normales y Grupo Cociente. Teoremas de Isomorfía
Tema 8: Acciones de Grupos. Grupo simétrico y Alternado
Tema 9: Los teoremas de Sylow.
Tema10: Presentaciones de grupos.
Plan de Trabajo Orientativo
TRABAJO PRESENCIAL | TRABAJO NO PRESENCIAL | |||||||
Temas | Horas totales | Clase Expositiva | Prácticas de aula /Seminarios/ Talleres | Tutorías grupales | Sesiones de Evaluación | Total | Trabajo autónomo | Total |
TEMA 1 | 25 | 7 | 2 | 1 | 10 | 15 | 15 | |
TEMA 2 | 37 | 12 | 4 | 1 | 17 | 20 | 20 | |
TEMA 3 | 25 | 8 | 2 | 0 | 10 | 15 | 15 | |
TEMA 4 | 25 | 7 | 2 | 1 | 10 | 15 | 15 | |
TEMA 5 | 30 | 10 | 4 | 1 | 15 | 15 | 15 | |
TEMA 6 | 36 | 9 | 3 | 1 | 13 | 23 | 23 | |
TEMA 7 | 31 | 8 | 2 | 1 | 11 | 20 | 20 | |
TEMA 8 | 34 | 8 | 3 | 1 | 12 | 22 | 22 | |
TEMA 9 | 27 | 4 | 2 | 1 | 7 | 20 | 20 | |
TEMA 10 | 22 | 5 | 2 | 0 | 7 | 15 | 15 | |
EXÁMEN S.E. | 8 | 8 | 8 | |||||
Total | 300 | 78 | 26 | 8 | 8 | 120 | 180 | 180 |
La metodología de la asignatura se articula en torno a tres modalidades presenciales, a la que se añade dos sesiones de evaluación.
- Presenciales
a) Clases expositivas (CE): lecciones magistrales con participación activa del alumnado en su dinámica, en donde se desarrollarán los contenidos teóricos de la asignatura. Se utilizará la pizarra o las presentaciones como apoyo docente básico. En algunas sesiones se realizarán ejercicios para aclarar a los estudiantes y afianzar los conceptos introducidos en los desarrollos teóricos. Además, en estas sesiones se propondrán ejercicios o trabajos con el objeto de profundizar en algunos de los aspectos de la materia, que serán trabajados en las PA.
b) Prácticas de aula (PA): dedicados a la realización de los ejercicios previamente propuestos.
c) Tutorías grupales (TG): su objetivo es la resolución de dudas planteadas por los estudiantes y, en el tiempo restante, el trabajo de los alumnos, en grupo o individualmente y bajo la supervisión del profesor, de las tareas que ayuden a clarificar aspectos fundamentales de la asignatura. Siempre que sea posible, se fomentará el trabajo en grupo, como parte de la formación de los alumnos.
d) Sesiones de evaluación (SE): realización de dos exámenes parciales teórico/prácticos que evalúen la adquisición de las destrezas en las que forma la asignatura. La materia de cada cuatrimestre será eliminatoria para el curso académico.
2. No presenciales
a) Trabajo autónomo: la comprensión de los conceptos expuestos en las CE, la resolución de problemas planteados, la realización de los ejercicios o trabajos y la preparación de su exposición en las PA, además de la necesaria reflexión sobre los aspectos teóricos (resultados y sus demostraciones, relaciones entre distintos conceptos) tratados en las CE, es lo que se espera sea realizado por los estudiantes.
- CG2. Elaborar y defender argumentos
- CG3. Plantear y resolver problemas.
- CG5 - Transmitir información, ideas, problemas y soluciones del ámbito matemático a un público tanto especializado como no especializado.
- CG7. Comunicar, por escrito y de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas, tanto a un público especializado como no especializado.
- CG8. Estudiar y aprender de forma autónoma, con organización de tiempo y recursos, nuevos conocimientos y técnicas en cualquier disciplina científica o tecnológica.
- CE2. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática y para construir demostraciones.
- CE3. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
- CE4. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos
- CE5. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos
- CT1 - Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas, incluyendo el acceso por Internet.
- CT3 - Comprobar o refutar razonadamente los argumentos de otras personas.
- CT4 - Trabajar en equipos interdisciplinares, aportando orden, abstracción y razonamiento lógico.
- CT5. Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la inglesa
Criterios de Evaluación
Aspectos | % | Competencias |
A – Exámenes de carácter teórico y práctico. | 75 | CG3, CG7, CG8, CE2, CE3, CE4, CE5, CT1, CT5 |
B-Ejercicios, trabajos y exposiciones desarrollados durante el curso | 20 | CG2, CG3, CG5, CG7, CG8, CE1, CE2, CE3, CE4, CT1, CT3, CT4, CT5 |
C. Participación activa del alumno en el desarrollo de la asignatura. | 5 | CE2, CE4, CG2, CG5, CG7, CT3, CT4 |
Evaluación ordinaria:
Para el ítem A:
- Se desarrollará una prueba escrita teórico/práctica al final de cada semestre, en la SE.
- Se tendrá también un examen de recuperación en mayo/junio para los alumnos que hayan superado la materia de uno de los cuatrimestres y no del otro.
- La calificación final que se otorga a los estudiantes que se hayan presentado a los dos parciales, pero sólo hayan aprobado uno de los dos y por tanto no superen la asignatura, será la media de las puntuaciones de los dos parciales hasta un máximo de 4,5.
Para el ítem B:
- Se propondrán ejercicios o tareas para su realización bien de forma presencial, bien de forma no presencial.
Para el ítem C:
- Se podrán realizar preguntas de seguimiento en las sesiones presenciales.
Evaluación extraordinaria de julio:
- El peso de la prueba teórica y práctica (item A), en la SE de recuperación de julio será idéntica a la ordinaria, un 75%.
- Los resultados de la evaluación ordinaria del item B (un 20%) y del item C (5%) se conservarán para la convocatoria de julio
- En la SE de julio cada alumno podrá recuperar cualquiera de los parciales que no haya superado y se diseñará de modo que los alumnos que lo precisen puedan recuperar la materia de ambos cuatrimestres.
- La calificación final que se otorga a los estudiantes que se hayan presentado a la convocatoria extraordinaria de julio, pero no hayan superado la asignatura, será la media de las puntuaciones de los dos parciales hasta un máximo de 4,5.
Evaluación extraordinaria de enero:
- Para la convocatoria adelantada de enero, o en otros casos en los que se precise, se habilitará un procedimiento para evaluar el 25% correspondiente a las pruebas de calificación que no son la prueba teórico-práctica escrita.
Se recomienda la siguiente bibliografía básica:
- Kostrikin: “Introducción al Algebra”. McGraw-Hills.
- T. Hungerford: “Algebra”, Springer Verlag.
- I. C. Grove: “Algebra”, Academic Press.
Así como la siguiente bibliografía complementaria:
- J. J. Rotman: “The Theory of Groups. An Introduction”, Springer Verlag.
- N. Jacobson: Basic Algebra I, II”, WH. Freeman and Co.
- Lidz-Pilz: “Applied Abstract Algebra”, Springer .