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Álgebra II
- Prácticas de Aula/Semina (20 Hours)
- Tutorías Grupales (6 Hours)
- Clases Expositivas (70 Hours)
La asignatura Álgebra II se encuentra recogida, en la Memoria del Grado, dentro del Módulo Estructuras Algebraicas, con un carácter Obligatorio. Se trata de una asignatura de relevancia para todo Matemático, pues se desarrolla la teoría de Galois y la resolución por radicales de ecuaciones algebraicas. Además se profundiza en algunos de resultados de grupos, no sólo necesarios para comprender la resolución de ecuaciones por radicales, sino de gran importancia para avanzar en el estudio de cualquier otro tema de carácter algebraico. La formación que se adquiere no se restringe únicamente a las técnicas propias de la disciplina y el interés de sus contenidos no tiene trascendencia sólo para posteriores estudios algebraicos, sino que incluye también la capacidad de abstracción y de diferenciación entre propiedades de tipo general y de tipo específico que todo Matemático requiere.
El carácter de la asignatura es eminentemente teórico, pero la resolución de problemas es eje central de la misma, ya que la resolución de ejercicios es el medio natural de contrastar la comprensión del tema y el único modo de conseguir soltura en la manipulación de las estructuras. Su desarrollo se plantea a partir de los conocimientos del primer curso de grado, incidiendo tanto en los aspectos puramente teóricos como en la resolución de problemas y la comunicación de su solución.
Es muy recomendable el dominio de las técnicas introducidas en las asignaturas de Fundamentos de Matemáticas, Álgebra Lineal y Geometría del primer curso de grado y Algebra I del segundo curso de grado. En particular, es deseable un buen manejo de las técnicas de anillos, especialmente anillos de polinomios, y de las cuestiones básicas de teoría de grupos.
Competencias:
Se pretende que el alumno adquiera las competencias consustanciales al trabajo matemático. En cuanto a competencias generales, el alumno aprenderá a elaborar y defender argumentos (CG2), plantear y resolver problemas (CG3), transmitir información y comunicar, por escrito y de forma oral, ideas, resultados, conocimientos, procedimientos, problemas y soluciones del ámbito matemático, tanto a un público especializado como no especializado (CG7). Asimismo, el alumno aprendera a estudiar y aprender de forma autónoma, con organización de tiempos y recursos, nuevos conocimientos y técnicas en cualquier disciplina científica o tecnológica (CG8). En cuanto a competencias específicas se preparará al alumno para comprender y utilizar el lenguaje matemático (CE1), adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática y para construir demostraciones (CE2), conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática (CE3), asimilar la definición de un nuevo objeto matemático en términos de otros ya conocidos y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos (CE4), saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos (CE5). En cuanto a competencias transversales se pretende que el alumno aprenda a utilizar bibliiografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficas generales y específicos de las Matemáticas, incluyendo el acceso por Internet (CT1), comprobar o refutar razonadamente los argumentos de otras personas (CT3), trabajar en equipos interdisciplinares, aportando orden, abstracción y razonamiento lógico (CT4), así como leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la inglesa (CT6).
Resultados del aprendizaje:
- Diferenciar las características y técnicas de trabajo propias de cada estructura algebraica.
- Identificar las estructuras cocientes y trabajar en ellas.
- Relacionar problemas de distinto tipo con problemas algebraicos ligados a diferentes estructuras.
- Aplicar el conocimiento de las distintas estructuras para resolver problemas en otros ámbitos matemáticos o externos a las matemáticas.
- Apreciar la potencia unificadora y clarificadora que tiene el trabajo con estructuras, fijando las características esenciales comunes de los objetos que las forman y la justificación de las definiciones dadas, así como su origen natural.
- Familiarizarse con el concepto de presentación de un grupo como cociente de un grupo libre, i.e., en términos de generadores y relaciones.
- Familiarizarse con las nociones de nilpotencia y resolubilidad de grupos.
- Reconocer la resolución del problema matemático clásico de la resolubilidad de ecuaciones por radicales mediante su formulación en términos de teoría de grupos y extensiones de cuerpos.
- Manipular cuerpos finitos y polinomios sobre ellos y reconocer las importantes aplicaciones de esta teoría, por ejemplo, a la teoría de códigos correctores de errores.
Según la Memoria de Verificación del Título de Grado, los contenidos de la asignatura son:
- Complementos de grupos. Grupos resolubles y nilpotentes.
- Cuerpos. Extensiones algebraicas de cuerpos: resolución de ecuaciones algebraicas.
- Cuerpos finitos. Aplicaciones.
Como complemento y subsanación de las incoherencias cronológicas del listado anterior, se incluye a continuación la distribución en temas de la materia.
Tema 1: Extensiones de cuerpos.
Tema 2: Cuerpos de escisión. Normalidad.
Tema 3: Separabilidad.
Tema 4: Complementos de Teoría de grupos.
Tema 5: Resolubilidad y Nilpotencia.
Tema 6: La correspondencia de Galois.
Tema 7: Teoría de Galois de ecuaciones.
Tema 8: Otras aplicaciones de la teoría de cuerpos.
El trabajo presencial se estructurará en cuatro tipos de actividades:
1) Clases expositivas, en las que el profesor explicará a los estudiantes los resultados y sus demostraciones, junto con ejercicios y problemas, ejemplos del uso de tales resultados.
2) Prácticas de aula, en las que se resolverán ejercicios y problemas a partir de las técnicas desarrolladas en las clases expositivas.
3) Tutorías grupales, realizadas en grupos muy reducidos, programadas por el profesor y coordinadas por el Centro, en las que se resolverán las dudas planteadas por los alumnos, indicándoles en qué aspectos de la asignatura deberán mejorar y la mejor forma para que lo hagan. Está actividad servirá para incidir en el aspecto formativo de la evaluación. Para ello, el profesor planteará a los estudiantes tareas que ayuden a clarificar aspectos fundamentales de la asignatura.
4) Sesiones de evaluación. Una sesión de evaluación por semestre, realizada mediante prueba escrita de respuesta larga teórico-práctica.
Plan de Trabajo Orientativo
TRABAJO PRESENCIAL | TRABAJO NO PRESENCIAL | |||||||
Temas | Horas totales | Clase Expositiva | Prácticas de aula /Seminarios/ Talleres | Tutorías grupales | Sesiones de Evaluación | Total | Trabajo autónomo | Total |
TEMA 1 | 35 | 9 | 3 | 1 | 13 | 22 | 22 | |
TEMA 2 | 28 | 8 | 3 | 1 | 12 | 16 | 16 | |
TEMA 3 | 27 | 8 | 3 | 1 | 12 | 15 | 15 | |
TEMA 4 | 35 | 7 | 2 | 1 | 10 | 25 | 25 | |
TEMA 5 | 30 | 7 | 2 | 1 | 10 | 20 | 20 | |
TEMA 6 | 23 | 7 | 3 | 0 | 10 | 13 | 13 | |
TEMA 7 | 28 | 8 | 3 | 1 | 12 | 16 | 16 | |
TEMA 8 | 13 | 4 | 1 | 0 | 5 | 8 | 8 | |
EXAMEN FINAL | 6 | 6 | 6 | |||||
Total | 225 | 58 | 20 | 6 | 6 | 90 | 135 | 135 |
De forma excepcional, si las condiciones sanitarias lo requieren, se podrán incluir actividades de docencia no presencial. En este caso, se informará al estudiantado de los cambios efectuados.
En el cuadro siguiente se especifica la ponderación que en la evaluación del alumno tendrán los distintos sistemas de evaluación contemplados en el módulo de la asignatura, así como las competencias evaluadas, para las que utilizaremos las abreviaturas de la memoria de verificación.
Aspectos | % | Competencias |
Exámenes de carácter teórico o práctico. | 75 | CG3, CG7, CE1, CE3, CE4, CE5, CE6, CT1, CT3-5 |
Ejercicios, trabajos y exposiciones desarrollados durante el curso. (Evaluación Continua) | 20 | CG2, CG3 CG7, CE1, CE3, CE4, CE5, CE6, CT5 |
Participación activa del alumno en el desarrollo de la asignatura. (Evaluación Continua) | 5 | CG2, CG3 CG7, CE1, CE3, CE4, CE5, CE6, CT5 |
La calificación correspondiente al 25% de Evaluación Continua obtenida durante el curso se aplicará en las Convocatorias Ordinaria y Extraordinaria.
En la Convocatoria Extraordinaria Adelantada, el 25% de Evaluación Continua se obtendrá con la calificación de las tareas realizadas hasta el momento.
En la Convocatoria Ordinaria, el 75% restante se distribuirá en dos pruebas objetivas de respuesta larga teórico-práctica al final de cada uno de los semestres, correspondientes a la materia impartida en cada uno de ellos. En las Convocatorias Extraordinaria y Extraordinaria Adelantada, el 75% de evaluación no continua se realizará en una sola prueba objetiva de respuesta larga teórico-práctica correspondiente a toda la materia.
De forma excepcional, si las condiciones sanitarias lo requieren, se podrán incluir métodos de evaluación no presencial. En este caso, se informará al estudiantado de los cambios efectuados.
Bibliografía Básica:
- T. Hungerford: “Algebra”, Springer Verlag
- J. J. Rotman: “The Theory of Groups. An Introduction”, Springer Verlag
- J. J. Rotman: “Galois Theory”, Springer Verlag
- I. Stewart: “Galois Theory”, Chapman and Hall.
Bibliografía Complementaria:
- I. C. Grove: “Algebra”, Academic Press
- N. Jacobson: Basic Algebra I, II”, W. H. Freeman and Co.
- Lidz-Pilz: “Applied Abstract Algebra”, Springer
- P. Morandi: Fields and Galois Theory”, Springer Verlag.