Topología I
- Clases Expositivas (47 Hours)
- Tutorías Grupales (4 Hours)
- Prácticas de Aula/Semina (13 Hours)
Esta asignatura está formada por contenidos básicos de Topología Conjuntista, así como su especificación al caso de Espacios Métricos y pertenece al módulo de Topología y Geometría Diferencial.
Los resultados a los que este curso se dedica tienen aplicación en multitud de asignaturas subsecuentes en el grado. Los posteriores acercamientos al Álgebra, al Análisis Matemático, a la Geometría Diferencial, a las Ecuaciones Diferenciales, entre otros, harán uso de las herramientas desarrolladas en esta asignatura. Aparte de este carácter instrumental, la asignatura tiene un firme contenido teórico: la introducción y estudio de los espacios topológicos, partiendo de objetos ya conocidos por el estudiante, constituye el paradigma del trabajo matemático y una adecuada introducción a su formalismo.
El alumno solo precisará del conocimiento de los contenidos básicos del primer curso del grado en Matemáticas para poder seguir la asignatura.
Es recomendable, aunque no imprescindible, que el alumno pueda leer textos matemáticos en inglés.
Se pretende que el alumno adquiera las competencias consustanciales al trabajo matemático. En cuanto a competencias generales, el alumno aprenderá a elaborar y defender argumentos, plantear y resolver problemas, comunicar, por escrito y de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas, tanto a un público especializado como no especializado. En cuanto a competencias específicas se preparará al alumno para comprender y utilizar el lenguaje matemático, adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática y para construir demostraciones, conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática, asimilar la definición de un nuevo objeto matemático en términos de otros ya conocidos y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos, saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos, y, finalmente, resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas. En cuanto a competencias transversales se pretende que el alumno aprenda a gestionar de forma óptima el tiempo de trabajo y organizar los recursos disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones, comprobar o refutar razonadamente los argumentos de otras personas, trabajar en equipos interdisciplinares, aportando orden, abstracción y razonamiento lógico, así como leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la ingles. Las competencias que se evaluarán en la asignatura son las siguientes:
•CG1. Saber aplicar los conocimientos a su trabajo de una forma profesional.
•CG2. Elaborar y defender argumentos.
•CG3. Plantear y resolver problemas.
•CG7. Comunicar, por escrito y de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas, tanto a un público especializado como no especializado.
•CE1. Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
•CE3. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
•CE4. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
•CE5. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos.incorrectos.
•CE6. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.
•CT5. Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la inglesa.
En cuanto a los resultados del aprendizaje, pretendemos que, tras cursar esta asignatura, el alumno sea capaz de:
- Manejar de modo elemental espacios métricos.
- Calcular clausuras, fronteras e interiores de conjuntos en espacios topológicos.
- Realizar cálculos elementales en espacios topológicos donde la topología está dada por una subbase.
- Entender la noción de continuidad de aplicaciones entre espacios topológicos y la noción de homeomorfismo.
- Manejar espacios producto.
- Manejar espacios cociente.
- Conocer las propiedades elementales de los espacios compactos.
- Conocer las propiedades elementales de los espacios conexos.
Tema 1: Espacios métricos.
Tema 2: Espacios topológicos: primeras nociones y propiedades.
Tema 3: Aplicaciones continuas. Homeomorfismos
.
Tema 4: Topologías producto y cociente.
Tema 5: Compacidad: primeras propiedades.
Tema 6: Conexión: primeras propiedades.
El trabajo presencial se estructurará en los siguientes tipos de actividades, que supondrán un total de 60 horas:
1) Clases expositivas, lecciones impartidas por la profesora con la participación activa del alumnado en su dinámica, en donde se desarrollarán los contenidos teóricos de la asignatura. Número de horas: 39.
2) Prácticas de aula, en cada tema se dedicarán estas sesiones de prácticas de aula a la resolución de los ejercicios y problemas planteados. Número de horas: 13.
3) Tutorías grupales, realizadas en grupos muy reducidos, programadas por la profesora y coordinadas por el Centro, en las que se resolverán las dudas planteadas por los alumnos, indicándoles en qué aspectos de la asignatura deberán mejorar y la mejor forma para que lo hagan. Esta actividad servirá para incidir en el aspecto formativo de la evaluación. Así, los alumnos trabajarán en las tareas planteadas por la profesora al objeto de clarificar aspectos fundamentales de la asignatura. Número de horas: 4,
4) Sesiones de evaluación, en forma de pruebas escritas en las que los estudiantes demostrarán su grado de asimilación de la materia. Número de horas: 4.
De forma excepcional, si las condiciones sanitarias lo requieren, se podrán incluir actividades de docencia no presencial. En cuyo caso, se informará al estudiantado de los cambios efectuados.
Las competencias que se evaluarán en la asignatura son las siguientes:
•CG1. Saber aplicar los conocimientos a su trabajo de una forma profesional.
•CG2. Elaborar y defender argumentos.
•CG3. Plantear y resolver problemas.
•CG7. Comunicar, por escrito y de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas, tanto a un público especializado como no especializado.
•CE1. Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
•CE3. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
•CE4. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
•CE5. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos.incorrectos.
•CE6. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.
•CT5. Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la inglesa.
En la evaluación de los estudiantes se utilizarán diversos procedimientos que permitan el seguimiento continuo del proceso de aprendizaje del alumno, así como un examen global (que será una prueba objetiva de respuesta larga teórico-práctica escrita) que permita valorar los conocimientos y competencias adquiridas, de modo que la calificación final de la asignatura en cada convocatoria será la suma de la nota de la tareas propuestas durante el curso, la nota de la participación activa en la asignatura y la nota del examen global. A lo largo del curso, la profesora planteará ejercicios y/o trabajos individuales o en grupo a los alumnos. La realización de los mismos formará parte de la evaluación continua. Cuando se encomiende una tarea de este tipo se especificarán las condiciones en las que debe realizarse, los plazos de entrega y la puntuación asignada a la misma a través de la página de la asignatura en el Campus Virtual o en su defecto, a través de la plataforma habilitada a tal fin. En el cuadro siguiente se especifica la ponderación que en la evaluación del alumno tendrán los distintos aspectos citados antes, así como las competencias que les conciernen, para las que se usarán las abreviaturas utilizadas en la memoria de verificación.
Aspectos | % | Competencias |
Pruebas objetivas de respuesta larga teórico-práctica | 75 | CG1,CG3, CG7,CE1, CE3-—6, CT5 |
Realización de las tareas propuestas durante el curso. | 20 | CG1,CG2,CG3, CG7, CG8,CE1, CE3—6, CT5 |
Participación activa del alumno en el desarrollo de la asignatura. | 5 | CG2,CG3, CG7, CE1, CE3—6, CT5 |
La calificación correspondiente al 20% de las tareas propuestas durante el curso y al 5% de participación activa del alumno en el desarrollo de la asignatura obtenida durante el curso se conservará hasta las Convocatorias de Mayo y Junio de ese mismo curso. El 75% restante de evaluación no continua estará constituido por una prueba objetiva de respuesta larga teórico-práctica en cada una de las convocatorias. En el caso de los estudiantes que tengan reconocida de forma oficial una “evaluación diferenciada” la asignatura se evaluará mediante una prueba objetiva final de respuesta larga teórico-práctica correspondiente a las competencias de toda la asignatura. La ponderación de esa prueba única y final, que se realizará en las fechas fijadas por la Junta de Facultad, será del 100% de la asignatura.
De forma excepcional, si las condiciones sanitarias lo requieren, se podrán incluir métodos de evaluación no presencial. En cuyo caso, se informará al estudiantado de los cambios efectuados.
Bibliografía Basica
1. J. R. MUNKRES, “Topología (Segunda Edición)”, Prentice Hall, 2001.
2. M. EISENBERG, “Topology”, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1974.
Bibliografía Complementaria
3. N. BOURBAKI, “Elements of Mathematics. General Topology. Chapters 1-4”, Springer Verlag, New York, 1989.
4. S. WILLARD, “General Topology”, Addison Wesley, Sidney, 1970