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- Doble Grado en Ingeniería Civil e Ingeniería de los Recursos Mineros y Energéticos
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Ampliación de Matemáticas
- Prácticas de Laboratorio (17 Hours)
- Clases Expositivas (42 Hours)
- Prácticas de Aula/Semina (28 Hours)
Esta asignatura Ampliación de Matemáticas forma parte de la materia Matemáticas incluida en el módulo de Ampliación de Formación Básica.
La asignatura se imparte en el primer semestre del segundo curso, por lo que los alumnos ya han estudiado los fundamentos del álgebra, del cálculo integral de una variable y del cálculo diferencial en varias variables en las asignaturas correspondientes al primer curso.
En esta asignatura se pretende que los alumnos adquieran una formación básica en cálculo integral en varias variables, cálculo vectorial, ecuaciones diferenciales, y en funciones de variable compleja. Estos temas constituyen una importante herramienta matemática en el ámbito de la ingeniería.
Además, el alumno deberá utilizar con soltura el lenguaje matemático como instrumento del conocimiento científico en general y ser capaz de analizar modelos matemáticos de problemas reales.
En las clases prácticas el alumno se familiarizará con una herramienta informática suficientemente potente para realizar cálculos.
Es recomendable poseer conocimientos de cálculo diferencial e integral de funciones de una variable, cálculo diferencial de funciones de varias variables y campos vectoriales. Estos contenidos están incluidos en las asignaturas de Álgebra y Cálculo que se imparten durante el primer curso.
Se potenciarán las siguientes Competencias Generales:
- CG3: Conocimiento en materias básicas y tecnológicas, que les capacite para el aprendizaje de nuevos métodos y teorías, y les dote de versatilidad para adaptarse a nuevas situaciones.
- CG4: Capacidad de resolver problemas con iniciativa, toma de decisiones, creatividad y razonamiento crítico.
- CG5: Capacidad de comunicar y transmitir conocimientos, habilidades y destrezas en el campo de la Ingeniería Industrial, tanto en forma oral como escrita, y a todo tipo de públicos.
- CG14: Capacidad de conocer, seleccionar, criticar y utilizar fuentes diversas de información.
- CG15: Capacidad de trabajar en equipo.
Y las siguientes Competencias Específicas:
- CB1: Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización.
A continuación resumimos los principales resultados de aprendizaje:
R1: Plantear y calcular integrales de funciones de dos y tres variables y aplicarlas a la resolución de problemas de la ingeniería.
R2: Parametrizar con soltura curvas y superficies, efectuar la integración de funciones escalares y vectoriales sobre ellas y aplicarlo a la resolución de problemas de la ingeniería.
R3: Comprender los aspectos cualitativos esenciales de las ecuaciones diferenciales: existencia, unicidad y regularidad de las soluciones. Adquirir destreza en la resolución explícita de ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior, relacionando estas últimas con sistemas de primer orden.
R4: Calcular series de Fourier asociadas a funciones elementales y resolver problemas unidimensionales de calor y ondas mediante el método de separación de variables.
R5: Enunciar y aplicar las propiedades básicas de las funciones complejas, representarlas a través de desarrollos en serie y calcular y clasificar sus singularidades.
R6: Comprender el concepto de ecuación en derivadas parciales e identificar algunos ejemplos de la Ingeniería Industrial en los que se aplican.
Tema 1: INTEGRALES MÚLTIPLES
1.1: Integrales Dobles.
1.1.1. Concepto de Integral Doble
1.1.2. Cálculo de la Integral Doble
1.1.3. Cambio de variables en integrales dobles
1.1.4. El cambio a coordenadas polares
1.2: Integrales Triples.
1.2.1. Concepto de Integral Triple
1.2.2. Cálculo de la Integral Triple
1.2.3. Cambio de variables en integrales triples
1.2.4. Coordenadas cilíndricas
1.2.5. Coordenadas esféricas
1.3: Aplicaciones de las Integrales Dobles y Triples.
1.3.1. Aplicaciones geométricas y físicas
Tema 2: INTEGRALES DE LÍNEA Y SUPERFICIE
2.1:Curvas, Superficies, Campos Vectoriales.
2.1.1. Parametrizaciones de curvas
2.1.2. Parametrizaciones de superficies
2.1.3. Campos vectoriales
2.1.4. Divergencia y Rotacional de un campo vectorial
2.2: Integrales de Línea y de Superficie. Teoría Vectorial de Campos.
2.2.1. Integrales de línea de funciones escalares
2.2.2. Integrales de línea de funciones vectoriales
2.2.3. Integrales de superficie de funciones escalares
2.2.4. Integrales de superficie de funciones vectoriales
2.2.5. Teorema de Green
2.2.6. Teorema de Stokes
2.2.7. Teorema de Gauss
2.2.8. Campos conservativos en R3
2.2.9. Campos conservativos en R2
2.3:Aplicaciones de Integrales de Línea y de Superficie.
2.3.1. Aplicaciones geométricas y físicas
Tema 3: ECUACIONES DIFERENCIALES
3.1: Ecuaciones de primer Orden.
3.1.1. Ecuaciones de variables separadas o separables
3.1.2. Ecuaciones homogéneas
3.1.3. Ecuaciones reducibles a homogéneas
3.1.4. Ecuaciones diferenciales exactas
3.1.5. Factores integrantes
3.1.6. Ecuaciones lineales
3.1.7. Ecuaciones de Bernoulli
3.1.8. Aplicaciones
3.2: Ecuaciones Lineales de Orden n.
3.2.1. Ecuaciones lineales homogéneas
3.2.2. Ecuaciones lineales no homogéneas
3.2.3. Aplicaciones
3.3: La Transformada de Laplace.
3.3.1. Definición de la Transformada de Laplace. Propiedades
3.3.2. Definición de la Transformada Inversa de Laplace. Propiedades
3.3.3. Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales
3.3.4. Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales
Tema 4: SERIES DE FOURIER. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
4.1: Series de Fourier.
4.1.1. Funciones periódicas. Serie trigonométrica
4.1.2. Coeficientes de Fourier
4.1.3. Convergencia de las series de Fourier
4.1.4. Series senoidal y cosenoidal
4.1.5. Serie de Fourier de una función no periódica
4.2: Aplicaciones de las Series de Fourier.
4.2.1. Problemas de Contorno de Sturm-Liouville
4.2.2. Problema homogéneo de contorno
4.2.3. Problema no homogéneo de contorno
4.2.4. Ecuaciones en derivadas parciales
4.2.5. Método de separación de variables
4.2.6. Resolución de las ecuaciones de la Física Matemática
Tema 5: VARIABLE COMPLEJA
5.1:Funciones Analíticas.
5.1.1. Funciones de una variable compleja
5.1.2. Límites. Continuidad. Derivadas
5.1.3. Ecuaciones de Cauchy-Riemann
5.1.4. Funciones Analíticas
5.1.5. Funciones Elementales
5.2:Integrales.
5.2.1. Definición
5.2.2. El Teorema de Cauchy-Goursat
5.2.3. Independencia de la trayectoria e Integrales Indefinidas
5.3:Series de Taylor y de Laurent.
5.3.1. Series de Potencias y Series de Taylor
5.3.2. Series de Laurent
5.4:Residuos y su uso en la Integración.
5.4.1. Definición de residuo
5.4.2. Teorema de los residuos
5.4.3. Aplicación al cálculo de integrales
En las clases expositivas se explicarán los conceptos propios de cada tema y se resolverán ejemplos.
Las prácticas de de aula se dedicarán a la resolución de ejercicios y se utilizarán metodologías activas que potencien la participación de los alumnos en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Las prácticas de laboratorio se impartirán en las salas de ordenadores y se utilizará un programa informático para la realización de cálculos relativos a los objetivos de la asignatura.
TEMAS | CE | PA | PL | EV | T. Presencial | T. No Presencial | TOTAL |
Tema 1: Integrales múltiples | 7 | 5 | 4 | 1 | 17 | 28 | 45 |
Tema 2: Integrales de Línea y Superficie | 9 | 6 | 4 | 1 | 20 | 28 | 48 |
Tema 3: Ecuaciones diferenciales | 8 | 6 | 4 | 1 | 19 | 28 | 47 |
Tema 4: Series de Fourier. Aplicaciones | 6 | 5 | 3 | 1 | 15 | 27 | 42 |
Tema 5: Variable compleja | 8 | 6 | 2 | 0 | 16 | 27 | 43 |
TOTAL | 38 | 28 | 17 | 4 | 87 | 138 | 225 |
Evaluación del aprendizaje de los estudiantes.
Convocatoria ordinaria. La evaluación de la asignatura constará de tres partes:
- Parte teórica El peso en la nota final será del 70%. Se utilizará un modelo de evaluación continua, más un examen final.
- La evaluación continua consistirá en la realización de dos pruebas escritas, la primera sobre los temas 1 y 2, y la segunda sobre los temas 3, 4 y 5. Dichas pruebas se calificarán sobre 10 puntos y serán compensables a partir de 3 puntos.
- Los alumnos también dispondrán de un examen final. El examen final de la convocatoria ordinaria será una prueba global, pero el alumno podrá conservar la nota de cada una de las pruebas anteriores, siempre y cuando sea mayor o igual que 3. Si un alumno se presenta a alguna parte del examen final, renuncia a la calificación obtenida en la prueba correspondiente anterior.
- Prácticas de laboratorio. El peso en la nota final será del 20%. Se evaluarán en las sesiones de prácticas, sobre 10 puntos.
- Actividades individuales y/o de grupo, así como el trabajo y asistencia del alumno a clase, se evaluarán a lo largo del curso y tendrán un peso del 10% en la nota final.
La nota final de la asignatura será:
Final= Teoría×0.70+Prácticas×0.20+Actividades×0.10
Alumnos con evaluación diferenciada: modelo de evaluación:
(a) Los alumnos realizarán la parte de las pruebas escritas de la misma forma que el resto, es decir, realizando los controles previstos en (1).
(b) Para las prácticas de laboratorio (2), se tratará de encontrar un grupo al que estos alumnos asistan de manera que puedan ser evaluados. Cuando esto no sea posible, se les realizará un examen final de dichas prácticas.
(c) El porcentaje de calificación de las actividades individuales y de grupo (3) no se aplicará a estos alumnos, pasando su porcentaje al apartado (1).
Es decir, la nota final de la asignatura será:
Final= Teoría×0.80+Prácticas×0.20
Convocatorias extraordinarias. En estas convocatorias se realizará sólo un examen sobre la parte teórica, y la nota del alumno será la máxima de las dos siguientes:
Final= Teoría×0.80+(Prácticas obtenidas durante el curso)×0.20
Final= Teoría×1.00
Notas:
- En todas las convocatorias se requiere obtener un mínimo de 4 puntos en la nota de teoría para aprobar la asignatura. Si un alumno no alcanza este mínimo, su nota final será suspenso (4 puntos).
- A principios de curso el alumno repetidor debe decidir si conserva la nota de Prácticas de Laboratorio obtenida en el curso anterior o vuelve a realizar dichas prácticas. Esta posibilidad sólo se puede utilizar una vez.
Apóstol T.M.: "Análisis Matemático". Ed: Reverté.
Bayón L., Grau, J.M. y Suárez, P.M.: “Ampliación de Cálculo. Grados en Ingeniería”. EDIUNO.
Bayón L. y Suárez P.M.: "Métodos Matemáticos de la Ingeniería". Ed. Los Autores.
Bombal F. y otros: "Problemas de Análisis Matemático". Ed: AC.
Bugrov Y.S. y Nikolski S.M.: "Matemáticas Superiores". Ed: Mir.
Churchill R.V. y Brown J.W.: "Variable Compleja y aplicaciones". Ed: Mc Graw Hill.
Courant R. y John F.: "Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático". Ed: Limusa.
Demidovich B.P.: "Problemas de Análisis Matemático". Ed: Paraninfo.
Demidovich B.P.: "5.000 problemas de Análisis Matemático". Ed: Paraninfo.
García A. y otros: "Cálculo I". Ed. Clagsa.
García A. y otros: "Cálculo II". Ed. Clagsa.
Kaplan W.: "Cálculo Avanzado". Ed: C.E.C.S.A.
Kreyszig E.: "Matemáticas avanzadas para Ingeniería". Ed: Limusa.
Marden J.E. y Tromba A.J.: "Cálculo Vectorial". Ed: Addison-Wesley Ib.
Nagle R.K. y Saff E.B.: "Fundamentos de ecuaciones diferenciales". Ed: Addison-Wesley Ib.
Piskunov N.: "Cálculo diferencial e integral". Ed: Montaner y Simón.
Pita Ruiz C.: "Cálculo Vectorial". Ed: Prentice-Hall Hispanoamericana.
Ray Wylie C.: "Matemáticas Superiores para Ingeniería". Ed: Mc Graw Hill.
Rodríguez Marín L.: "Ampliación de Cálculo". Ed: U.N.E.D.
Ross S.L.: "Ecuaciones diferenciales". Ed: Reverté.
Spiegel M.R.: "Matemáticas Superiores para Ingenieros y Científicos". Ed: Mc Graw Hill.
Thomas G. y Finney R.: "Cálculo con geometría analítica". Addison-Wesley Ib.
Wunsch A.D.: "Variable compleja con aplicaciones". Ed: Addison-Wesley Ib.
Zill D.G.: "Ecuaciones diferenciales con aplicaciones". Ed. Iberoamericano.