Análisis Matemático III
La asignatura Análisis Matemático III es una asignatura obligatoria del Grado en Matemáticas, perteneciente al módulo Ampliación de Análisis Matemático.
Con ella se pretende completar algunos aspectos clásicos del Análisis Matemático que no han sido tratados en los cursos anteriores. En consecuencia, se apoya en las asignaturas de Cálculo Diferencial e Integral, Introducción al Análisis Matemático, Análisis Matemático I y Análisis Matemático II. Se imparte durante el primer semestre del tercer curso y es muy importante para asignaturas posteriores como el Análisis Funcional, Procesos Estocásticos y varios aspectos del Análisis Numérico.
Es aconsejable para el correcto seguimiento de esta asignatura la comprensión y el manejo ágil de conceptos generales sobre teoría de conjuntos, álgebra lineal, integral de Riemann, cálculo de integrales y series. Por ello, se recomienda haber superado previamente las asignaturas Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Lineal y Geometría, Fundamentos de Matemáticas, Introducción al Análisis Matemático, Análisis Matemático I y Análisis Matemático II.
Competencias generales del Grado en Matemáticas:
CG1. Saber aplicar los conocimientos a su trabajo de una forma profesional.
CG2. Elaborar y defender argumentos.
CG3. Plantear y resolver problemas.
CG4. Reunir e interpretar datos, información y resultados relevantes, obtener conclusiones y emitir informes razonados.
CG5. Transmitir información, ideas, problemas y soluciones del ámbito matemático a un público tanto especializado como no especializado.
CG6. Aplicar los conocimientos teóricos-prácticos adquiridos y la capacidad de análisis y de abstracción a la definición y planteamiento de problemas y a la búsqueda de sus soluciones, tanto en contextos académicos como profesionales.
CG7. Comunicar, por escrito y de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas, tanto a un público especializado como no especializado.
CG8. Estudiar y aprender de forma autónoma, con organización de tiempo y recursos, nuevos conocimientos y técnicas en cualquier disciplina científica o tecnológica.
Competencias específicas del Grado en Matemáticas:
CE1. Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
CE2. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática y para construir demostraciones.
CE3. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
CE4. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.
CE5. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.
CE6. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.
CE7. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
CE8. Planificar la resolución de un problema en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos
Competencias transversales del Grado en Matemáticas:
CT1. Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas, incluyendo el acceso por Internet.
CT2. Gestionar de forma óptima el tiempo de trabajo y organizar los recursos disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones.
CT3. Comprobar o refutar razonadamente los argumentos de otras personas.
CT4. Trabajar en equipos interdisciplinares, aportando orden, abstracción y razonamiento lógico.
CT5. Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la inglesa.
Resultados del aprendizaje:
1.- Comprender los fundamentos de la teoría de la medida y de la integral de Lebesgue.
2.- Comprender y manejar los teoremas clásicos de la convergencia de integrales de Lebesgue.
3.- Comprender y manejar series de Fourier con aplicaciones prácticas.
4.- Entender los conceptos de integral de línea y de superficie.
5.- Comprender los teorema clásicos del Cálculo Vectorial así como sus aplicaciones.
- Introducción a la Teoría de la medida.
- Introducción a las series de Fourier.
- Integrales de línea y de superficie. Teoremas clásicos del Cálculo Vectorial.
De acuerdo con las pautas que establece el EEES, la asignatura se desarrollará mediante actividades presenciales y trabajo autónomo del estudiante.
Las actividades presenciales son aquellas en las que estará siempre presente el profesor. Se dividen en clases expositivas, seminarios o prácticas de aula, tutorías grupales y sesiones de evaluación.
- Clases expositivas: Impartidas al grupo completo, no necesariamente como lección magistral, sino procurando una participación activa del alumnado en la dinámica de las mismas. En estas clases se desarrollan los contenidos teóricos de la asignatura, combinados con la resolución de problemas y ejercicios. Se utiliza la pizarra y, ocasionalmente, diferentes medios audiovisuales.
- Prácticas de Aula / Seminarios: Dedicados a propuestas, discusión y supervisión de ejercicios y problemas relacionados con la asignatura.
- Tutorías grupales: Dedicadas a la la aclaración de dudas sobre la materia si las hubiere, la exposición de los razonamientos elaborados por los alumnos y exposición de la resolución de ejercicios y/o proyectos por parte de los alumnos.
- Sesiones de evaluación: Se dedicarán exclusivamente a la realización de las pruebas escritas correspondientes a los exámenes finales con las que se pueda valorar de forma objetiva el nivel alcanzado por los estudiantes en la adquisición de las competencias previstas.
Por su parte, a fin de cumplir los principios referentes a ECTS, establecidos en el Real Decreto 1393/2007, el estudiante deberá desarrollar un trabajo autónomo paralelo (actividades no presenciales), dirigido por el profesor mediante las tutorías.
La distribución de horas y ECTS para las actividades presenciales, así como la dedicación a las actividades no presenciales estimada para un alumno medio, se recogen en la siguiente tabla:
Volumen de trabajo estimado para el estudiante
MODALIDADES | Horas | ECTS | % | |
Presencial | Clases expositivas | 39 | 1.56 | 26.0 |
Seminarios | 13 | 0.52 | 8.6 | |
Tutorías grupales | 4 | 0.16 | 2.7 | |
Sesiones de evaluación | 4 | 0.16 | 2.7 | |
Total | 60 | 2.40 | 40 | |
No presencial | Estudio individual o en grupo | 35 | 1.40 | 23.3 |
Resolución de ejercicios | 45 | 1.80 | 30.0 | |
Resolución cuestionarios y otras actividades | 10 | 0.40 | 6.7 | |
Total | 90 | 3.60 | 60 | |
Total | 150 | 6.00 | 100 |
Plan de Trabajo (orientativo)
TRABAJO PRESENCIAL | TRABAJO NO PRESEN. | ||||||
Temas | Clase exposit. | Semin. (o práct. de aula) | Tutor. grupal. | Ses. de eval. | Total de trabajo presen. | Trabajo autón. o en grupo | Total |
TEMA 1.- Introducción a la Teoría de la medida | 17 | 6 | 2 | 27 | 40 | 67 | |
TEMAS 2. Introducción a las series de Fourier | 12 | 4 | 1 | 18 | 28 | 46 | |
TEMAS 3.Integrales de línea y de superficie. Teoremas clásicos del Cálculo Vectorial | 10 | 3 | 1 | 11 | 22 | 33 | |
Evaluación | 4 | 4 | 4 | ||||
Total (horas) | 39 | 13 | 4 | 4 | 60 | 90 | 150 |
De forma excepcional, si las condiciones sanitarias lo requieren, se podrán incluir actividades de docencia no presencial. En cuyo caso, se informará al estudiantado de los cambios efectuados
Convocatoria ordinaria
En la convocatoria ordinaria la calificación final depende de dos valores numéricos CEC y CPG, ambos entre 0 y 10. La calificación CEC corresponde a un proceso de evaluación continua mientras que la calificación CPG corresponde a una única prueba escrita de carácter global que se realiza en la fecha asignada en el Calendario Oficial de exámenes del centro.
La calificación final se calcula de acuerdo a la fórmula
•30% de CEC + 70% de CPG
La evaluación continua tiene como objetivo valorar la adquisición de las competencias y resultados del aprendizaje previstos para esta asignatura así como otros aspectos relativos al trabajo personal.
• Participación activa en el desarrollo de la asignatura. El peso de este apartado en la evaluación continua será del 20%. Su peso es, por lo tanto, un 6% de la evaluación global.
• Resolución de ejercicios, realización de trabajos y exposiciones completarán la calificación de la evaluación continua y su peso será, por lo tanto, un 24% de la evaluación global.
La ponderación de resolución de ejercicios, realización de trabajos y exposiciones será anunciada al alumnado previamente.
En la prueba de carácter global los contenidos se corresponderán con los desarrollados en cualquiera de las clases de tipo CE, PA y TG.
Convocatorias extraordinarias
En las convocatorias extraordinarias se realizará una prueba escrita correspondiente a los contenidos desarrollados en cualquiera de las clases de tipo CE, PA y TG. La nota de dicha prueba, CEE, será valorada de 0 a 10 puntos y la calificación final en esta convocatoria se calcula de acuerdo a la siguiente fórmula:
•30% de CEC + 70% de CEE
Evaluación diferenciadaSe realizará una única prueba escrita en la fecha fijada en el horario oficial.
Competencias evaluadas en cada tipo de prueba:
Aspectos | % | Competencias |
Pruebas escritas | 70% | CG1-CG8, CT1, CE1-CE8 |
Ejercicios, trabajos o exposiciones | 24% | CG1-CG8, CT1-CT5, CE1, CE5-CE8 |
Participación activa | 6% | CG1-CG8, CT1-CT4, CE1-CE8 |
De forma excepcional, si las condiciones sanitarias lo requieren, se podrán incluir métodos de evaluación no presencial. En cuyo caso, se informará al estudiantado de los cambios efectuados
Bibliografía básica | ||
Título | Autor | Editorial |
Real and Complex Analysis | W. Rudin | Pearson Education (1985) |
Introduction to Measure Theory and Integration | L. Ambrosio, G Da Prato, A. Mennuci | Edizioni della Normale (2011) |
Bibliografía complementaria | ||
Título | Autor | Editorial |
An Introduction to Lebesgue Integration and Fourier Series | H. J. Wilcox, D. L. Myers | Dover (1994) |
A Garden of Integrals | F. E. Burk | The Mathematical Association of America (2007) |
Introductory Functional Analysis with Applications | E. Kreyszig | John Wiley Sons (1978) |
The Elements of Integration and Lebesgue Measure | Robert G. Bartle | John Wiley & Son (1995) |